فعالیت ۱ حدس زدن حد مساحت چندضلعی محاطی حسابان یازدهم
در شکل زیر، شعاع دایرهها برابر ۱ واحد است.
با افزایش اضلاع چندضلعیهای محاط در دایره، مساحت چندضلعی به مساحت چه شکلی نزدیک میشود؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۱۴ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت یک مقدمه شهودی برای مفهوم **حد** (Limit) و محاسبه **مساحت دایره** است. در اینجا ما یک دنباله از اشکال (چندضلعیهای منتظم) داریم که به شکل دایره نزدیک میشوند. 💡
### تحلیل فرآیند
1. **اشکال اولیه**: ما با یک مثلث (۳ ضلع) و سپس یک مربع (۴ ضلع)، پنجضلعی (۵ ضلع) و ... شروع میکنیم.
2. **افزایش اضلاع**: با افزایش تعداد اضلاع (مثلاً به ۳۰۰، ۵۰۰، و ۱۰۰۰ ضلع)، چندضلعی منتظم محاط در دایره به تدریج **گوشههای** خود را از دست میدهد و به شکل یک منحنی کامل تبدیل میشود.
3. **همگرایی مساحت**: در هر مرحله، فاصله بین لبه چندضلعی و محیط دایره کمتر و کمتر میشود.
**نتیجه**: با افزایش نامحدود اضلاع چندضلعیهای منتظم محاط در دایره، مساحت چندضلعی به مساحت **دایره** (که چندضلعی درون آن محاط شده است) نزدیک میشود.
فعالیت ۲ مساحت دایره با شعاع ۱ حسابان یازدهم
مساحت دایرهای به شعاع ۱ چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۱۴ حسابان یازدهم
سلام! برای محاسبه مساحت دایره، از فرمول مشهور **$A = \pi r^۲$** استفاده میکنیم. ⭕
### محاسبه مساحت
* **شعاع ($r$)**: $r = ۱$ واحد.
* **فرمول مساحت ($A$)**: $A = \pi r^۲$
$$A = \pi (۱)^۲ = \mathbf{\pi}$$
**نتیجه**: مساحت دایرهای به شعاع ۱، برابر **$\pi$ (پی)** واحد مربع است.
فعالیت ۳ محاسبه حد مساحت چندضلعی محاطی با کمک جدول حسابان یازدهم
اگر مقدار تقریبی ۵ رقم اعشار را برابر $\pi \approx ۳.۱۴۱۵۹$ در نظر بگیریم و مساحت $n$ضلعی منتظم واقع در درون دایره را با $A_n$ نشان دهیم، جدول زیر مقادیر $A_n$ را به ازای برخی $n \in \mathbb{N}$ نشان میدهد:
| $n$ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | ۱۰ | ۳۰۰ | ۴۰۰ | ۵۰۰ | ۱۰۰۰ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A_n$ | $۱.۲۹۹۰۳$ | $۲$ | $۲.۳۷۷۶۴$ | $۲.۵۹۸۰۷$ | $۲.۷۳۶۰۷$ | $۲.۸۲۸۴۲$ | $۲.۸۹۲۵۴$ | $۲.۹۳۸۹۲$ | $۳.۱۴۱۰۷$ | $۳.۱۴۱۱۳$ | $۳.۱۴۱۴۶$ | $۳.۱۴۱۵۷$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۱۴ حسابان یازدهم
این جدول، محاسبات عددی مساحت چندضلعیهای منتظم محاط در دایره واحد ($r=۱$) را نشان میدهد. با استفاده از این دادهها میتوانیم مفهوم **حد** را به طور دقیق درک کنیم. 📊
### تحلیل روند جدول
1. **روند صعودی**: همانطور که تعداد اضلاع ($n$) افزایش مییابد، مساحت چندضلعی ($A_n$) نیز **افزایش** مییابد.
2. **همگرایی**: با افزایش $n$ به سمت مقادیر بسیار بزرگ (مانند $n=۱۰۰۰$)، مساحت $A_n$ به یک عدد خاص نزدیک میشود.
* **مقدار $A_{۱۰۰۰}$**: $۳.۱۴۱۵۷$
* **مقدار $\pi$**: $\pi \approx ۳.۱۴۱۵۹$
**نتیجه**: مشاهده میکنیم که با افزایش نامحدود تعداد اضلاع، مقدار مساحت $athbf{A_n}$ به طور فزایندهای به مقدار $\mathbf{\pi \approx ۳.۱۴۱۵۹}$ نزدیک میشود.
فعالیت ۴ حد دنباله مساحت چندضلعی محاطی حسابان یازدهم
با توجه به این جدول، هر چه تعداد اضلاع چندضلعیهای داخل دایره زیاد میشود، جملات دنباله $A_n$ (مساحت $n$ضلعی درون دایره) به عدد $\dots$ که برابر مساحت دایره است، نزدیک میشوند.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۱۴ حسابان یازدهم
این فعالیت جمعبندی نهایی مفهوم **حد یک دنباله** و رابطه آن با **مساحت دایره** است. 🎯
### جمعبندی
همانطور که در جدول مشاهده شد، با افزایش تعداد اضلاع ($n$) به سمت **بینهایت** ($n \to \infty$):
1. چندضلعی منتظم محاط، به طور کامل دایره را پوشش میدهد.
2. مساحت $A_n$ به مقدار مساحت دایره نزدیک میشود.
**نتیجه**: جملات دنباله $A_n$ (مساحت $n$ضلعی درون دایره) به عدد **$\pi$** که برابر مساحت دایره است، نزدیک میشوند.
**اصطلاح ریاضی**: این فرآیند به صورت حد یک دنباله نوشته میشود:
$$\mathbf{\lim_{n \to \infty} A_n = \pi}$$
